List of Theorems

$\star$ - знать только формулировки

Предел функции, непрерывность.

  1. ◦ Два определения предела функции в точке, их эквивалентность.

  2. ◦ Свойства функций, имеющих предел в точке (арифметические операции; ограниченность; отделимость от нуля; переход к пределу в неравенствах; лемма о двух милиционерах)

  3. ◦ Критерий Коши существования предела функции в точке

  4. ◦ Предел сложной функции

  5. ◦ $\star$ Непрерывность функции в точке. Определения, основные свойства (ограниченность; сохранение знака; арифметические свойства)

  6. ◦ Односторонние пределы
    ◦ Пределы монотонных функций
    ◦ Классификация точек разрыва. Примеры разрывных функций

  7. ◦ Теорема Коши о промежуточном значении

  8. ◦ Непрерывность обратной функции

  9. ◦ Показательная функция. Свойства показательной функции (кроме непрерывности)

  10. ◦ Непрерывность показательной функции

  11. ◦ $\star$ Определения и свойства элементарных функций

  12. ◦ Замечательные пределы и их следствия

  13. ◦ $\star$ Эквивалентность функций и o символика

  14. ◦ Ограниченность функции непрерывной на отрезке

  15. ◦ Теорема Вейерштрасса о достижимости точной верхней (нижней) грани непрерывной функции.

  16. ◦ Теорема Кантора о равномерной непрерывности

Дифференцируемость.

  1. ◦ Дифференцируемость функции
    ◦ Необходимое условие дифференцируемости функции
    ◦ Эквивалентность дифференцируемости и существования производной функции в точке

  2. ◦ Арифметические свойства дифференцируемых функций

  3. ◦ Производная обратной функции
    ◦ Производная сложной функции

  4. ◦ Таблица производных основных элементарных функций

  5. ◦ Геометрический смысл дифференцируемости. Уравнение касательной. Дифференциал

  6. ◦ Теоремы о монотонности дифференцируемой функции в точке и теорема Ферма об экстремумах

  7. ◦ Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о среднем. Следствия теоремы Лагранжа.

  8. ◦ Правило Лопиталя (доказательство 0/0)

  9. ◦ Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

  10. ◦ Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано
    ◦ Формулы Тейлора для основных элементарных функций

  11. ◦ Достаточные условия экстремума и выпуклости функции в точке

  12. ◦ Необходимые и достаточные условия выпуклости функции на отрезке