List of Theorems

Предел функции, непрерывность.

  1. Два определения предела функции в точке, их эквивалентность.

  2. Свойства функций, имеющих предел в точке (арифметические операции; ограниченность; отделимость от нуля; переход к пределу в неравенствах; лемма о двух милиционерах)

  3. Критерий Коши существования предела функции в точке

  4. Предел сложной функции

  5. ∗ Непрерывность функции в точке. Определения, основные свойства (ограниченность; сохранение знака; арифметические свойства)

  6. Односторонние пределы. Пределы монотонных функций. Классификация точек разрыва. Примеры разрывных функций

  7. Теорема Коши о промежуточном значении

  8. Непрерывность обратной функции

  9. Показательная функция. Свойства показательной функции (кроме непрерывности)

  10. Непрерывность показательной функции

  11. ∗ Определения и свойства элементарных функций

  12. Замечательные пределы и их следствия

  13. ∗ Эквивалентность функций и o символика

  14. Ограниченность функции непрерывной на отрезке

  15. Теорема Вейерштрасса о достижимости точной верхней (нижней) грани непрерывной функции.

  16. Теорема Кантора о равномерной непрерывности

Дифференцируемость.

  1. Дифференцируемость функции. Необходимое условие дифференцируемости функции. Эквивалентность дифференцируемости и существования производной функции в точке

  2. Арифметические свойства дифференцируемых функций

  3. Производная обратной функции. Производная сложной функции

  4. Таблица производных основных элементарных функций

  5. Геометрический смысл дифференцируемости. Уравнение касательной. Дифференциал

  6. Теоремы о монотонности дифференцируемой функции в точке и теорема Ферма об экстремумах

  7. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о среднем. Следствия теоремы Лагранжа.

  8. Правило Лопиталя (доказательство 0/0)

  9. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

  10. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Формулы Тейлора для основных элементарных функций

  11. Достаточные условия экстремума и выпуклости функции в точке

  12. Необходимые и достаточные условия выпуклости функции на отрезке